向量基础
💡 概念：向量是什么？
向量是既有 “大小” (Magnitude) 又有 “方向” (Direction) 的量。 与之相对的是标量（只有大小，如温度、价格）
一维向量
只有一个分量，用一个实数表示，描述在数轴上的位置。表示向量的方向和大小：从原点0指向；
- 长度（大小）
就是它的绝对值
- 方向
- 向右
- 向左
- 没有方向
一维空间只有“正/负”两个方向；
二维向量
二维向量可以用有序对(x,y)表示，描述它在平面内的水平与垂直分量
- ：水平方向的分量
- ：垂直方向的分量
向量的长度(模长)
向量从原点 (0,0) 指向点 (x,y)，其长度由勾股定理得到：
几何意义：想象一个直角坐标系
- 是直角三角形的底
- 是直角三角形的高向量的长度
- 就是这个直角三角形的斜边长度
向量的方向
知道了长度（斜边）和 （邻边），我们可以通过三角函数来确定向量的方向（角度 ）
余弦公式：
AI 中的应用：余弦相似度
在 AI 领域，我们通常不只关心单个向量的角度，更关心两个向量之间的夹角，以此来判断它们的相似程度
🎬 实际应用场景
- 向量 A： 用户喜欢的电影类型特征
- 向量 B： 某部新上映电影的属性特征
- 目标： 判断是否推荐？即计算 A 和 B 的余弦相似度。
余弦相似度公式：
这个公式由两部分组成：
• 分子（点积）： 衡量两个向量在方向上的累积一致性。
◦ 公式：
• 分母（模长乘积）： 用于归一化，消除向量长度本身的影响。
◦ 公式：
结果解读
计算结果范围在 之间：
✅ 结果是 1：完全相似。方向完全相同，夹角
❌ 结果是 0：完全无关。互相垂直，夹角
🚫 结果是 -1：完全相反。方向背道而驰，夹角
三维向量
三维向量用有序三元组表示，记录向量在三个方向上的投影
- ：沿水平轴的分量
- ：沿竖直轴的分量
- ：沿垂直屏幕的分量
模长
向量加法
端点连接“首尾相接”，即对应分量相加：
🎯场景
假设我们正在分析两个用户的水果购买行为，向量表示为
[苹果数量🍎, 香蕉数量🍌]- 🧘用户 A（平民）：
[1, 1]—— 只是买点零食
- 💰用户 B（土豪）：
[100, 100]—— 进货式超级采购
这时候，我们该怎么判断他们的关系？这完全取决于你手中拿的是哪把“尺子”📏：
1️⃣如果用欧氏距离
距离 140。在向量空间里，这是一个非常遥远的距离。如果你设定的阈值是 10 或者 20，这两人会被判定为“毫无关系”
- 测量视角：看的是两点在空间中的物理直线距离。
- 业务判定：“这俩完全不是一类人”。
- 适用场景：你需要严格区分消费能力或量级（比如要把零售散户和批发商区分开）
2️⃣如果用余弦相似度
相似度为 1。这是余弦相似度的最大值（范围是 -1 到 1），意味着两者 100% 完美相似
- 测量视角：看的是两个向量指向的夹角方向。
- 业务判定：“这俩口味完全一致！”（都喜欢 1:1 的搭配）。
- 适用场景：推荐系统、语义搜索（你需要匹配兴趣偏好或内容相关性，而不在乎频次高低或文本长短）
💡 核心心法
- 📍找位置（大小/数值敏感）👉 用 欧氏。
- 🧭找方向（特征/比例敏感）👉 用 余弦。
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